Une série est la somme des termes d'une séquence. séquences et séries Finite ont défini les premiers et derniers termes, où les séquences et les séries infinis continuent indéfiniment. En mathématiques, étant donné une sequesnce infinie de nombres {un}, une série est officieusement le résultat de l'ajout de tous ces termes ensemble: a1 + a2 + a3 + ??? Ceux-ci peuvent être rédigés de façon plus compacte en utilisant le symbole de sommation Σ. Un exemple est la célèbre série de dichotomy.Sum_n = 1 ^ infty 02/01 ^ n = 1/2 + 1/4 + 8/1 + ....... + 1/2 ^ n + .... de Zeno .les termes de la série sont souvent produites selon une certaine règle, par exemple par une formule, ou par un algorithme. Comme il y a un nombre infini de termes, cette notion est souvent appelé une série infinie. Contrairement sommations finies, séries infinies ont besoin d'outils de l'analyse mathématique pour être pleinement compris et manipulés. En plus de leur ubiquité en mathématiques, série infinie sont aussi largement utilisés dans d'autres disciplines quantitatives telles que la physique et l'ordinateur sciences.Limit d'un propertiesSeries Puissance seriesBasic peut être composé de termes de l'un des nombreux jeux différents, y compris des nombres réels, nombres complexes et les fonctions. La définition donnée ici sera pour les nombres réels, mais peut être generalized.Given une suite infinie de nombres réels {an}, defineS_N = somme ^ n_n = 0 a ^ n = a0 + a1 + a2 + ..... + anCall SN la somme partielle en N de la suite {an}, ou une somme partielle de la série. Une série est la suite des sommes partielles, {SN} .Potential confusionWhen parler de la série, on peut se référer soit à la séquence {SN} des sommes partielles, ou à la somme de la série, somme ^ infty_n = 0 a_ni.e ., la limite de la suite des sommes partielles (voir la définition formelle dans la section suivante) - il est clair que l'on est censé partir du contexte. Pour faire une distinction entre ces deux objets complètement différents (séquence par rapport à la valeur résumée), on omet parfois les limites (au-dessus et au-dessous du symbole de la somme), comme inΣ_n ordre de anin de se référer à la série formelle, qui peut ou non avoir une série sum.Convergent sérieA définitive Σan est dite «convergence» ou «être convergente» lorsque la séquence SN de sommes partielles a une limite finie. Si la limite de SN est infini ou n'existe pas, la série est dit à diverger. Lorsque la limite des sommes partielles existe, il est appelé la somme des seriessum_n = 0 ^ infty a_n = lim_N-> infty S_n = lim_N-> infty sum_n = 0 ^ N a_nThe plus simple qu'une série infinie peut converger est si tous les un sont nuls pour n assez grand. Une telle série peut être identifié avec une somme finie, il est donc infinie dans un sense.Working trivial sur les propriétés de la série qui convergent, même si tous les termes sont non-zéro est l'essence même de l'étude de la série. Considérons le example1 + 1/2 + 1/4 + 8/1 + .... + 1/2 ^ n + .... Il est possible de «visualiser» sa convergence sur la ligne de nombre réel: nous pouvons imaginer une ligne de longueur 2, avec des segments successifs marqués hors de longueurs 1,? ? etc. Il y a toujours place pour marquer le segment suivant, parce que le montant de la ligne restante est toujours le même que le dernier segment marqué: quand nous avons marqué au large? nous avons encore un morceau de longueur? banalisée, alors nous pouvons certainement marquer la prochaine? Cet argument ne prouve pas que la somme est égale à 2 (bien que ce soit), mais cela ne prouve qu'il est au plus 2. En d'autres termes, la série a une limite supérieure. Prouver que la série est égale à 2 ne nécessite que l'algèbre élémentaire, cependant. Si la série est noté S, on peut voir THATS /2 = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) /2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1 /16+....Therefore,S - S /2 = 1 S = 2 Mathématiciens étendent l'idiome discuté plus tôt à d'autres notions équivalentes de série. Par exemple, lorsque nous parlons d'une décimale récurrente, comme inx = 0,111 ..... nous parlons, en fait, à peu près le seriessum_n = 1 ^ infty 10/01 ^ nMais puisque ces séries convergent toujours à des nombres réels (car de ce qu'on appelle la propriété de l'intégralité des nombres réels), pour parler de la série de cette manière est la même que pour parler des numéros pour lesquels ils se tiennent. En particulier, il ne doit pas offenser les sensibilités si nous ne faisons aucune distinction entre 0,111 ... et 1/9. Moins évident est l'argument selon lequel 9? 0.111 ... = 0,999 ... = 1, mais il est intenable si nous considérons que nous pouvons formaliser la preuve en sachant seulement que les limites des lois préservent les opérations arithmétiques. Voir 0,999 ... pour more.Properties de seriesProperties de seriesSeries sont classés non seulement par si elles convergent ou divergent: ils peuvent également être divisés en fonction des propriétés des termes d'un (de convergence absolue ou conditionnelle); type de convergence de la série (pointwise, uniforme); la classe de l'un terme (si elle est un nombre réel, la progression arithmétique, une fonction trigonométrique); etc. Non-négative termsWhen un est un nombre réel non négatif pour tout n, la SN suite des sommes partielles est non décroissante. Il en résulte qu'une série Σan avec des termes non négatifs converge si et seulement si la séquence SN de sommes partielles est bounded.For exemple, la seriessum_n supérieure ou égale à 1 1 /n ^ 2 est convergente, parce que le inequality1 /n ^ 2 inférieure ou égale à 1 /n-1 à 1 /n, n supérieur ou égal à 2, et un argument de somme télescopique impliquent que les sommes partielles sont délimitées par 2.Absolute convergenceA seriessum_n = 0 ^ a ^ nis infty ledit à converger absolument si la série d'absolue valuessum_n = 0 ^ infty