A es la suma de los términos de una secuencia. secuencias finitas y series han definido términos primero y último, en las secuencias y series infinitas como continuar indefinidamente. En matemáticas, dado un número infinito de sequesnce {an}, es una serie informalmente el resultado de sumar todos esos términos juntos: a1 + a2 + a3 + ??? Estos pueden ser escritos de forma más compacta mediante el símbolo de suma Σ. Un ejemplo es la famosa serie de Zeno de dichotomy.Sum_n = 1 ^ infty de 1/2 ^ n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ....... + 1/2 ^ n + .... .Los términos de la serie se producen a menudo de acuerdo con una regla determinada, tal como mediante una fórmula, o por un algoritmo. Ya que hay un número infinito de términos, esta noción a menudo se llama una serie infinita. A diferencia de sumas finitas, las series infinitas necesitan herramientas de análisis matemático que se hayan comprendido y manipulados. Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas son también ampliamente utilizados en otras disciplinas cuantitativas como la física y la computadora sciences.Limit de un propertiesSeries Poder seriesBasic puede estar compuesto por términos de cualquiera de los muchos conjuntos diferentes, incluyendo los números reales, números complejos y funciones. La definición que se da aquí será para los números reales, pero se puede generalized.Given una secuencia infinita de números reales {an}, defineS_N = suma ^ n_n = 0 a ^ n = a0 + a1 + a2 + ..... + anCall SN la suma parcial de N de la secuencia {an}, o la suma parcial de la serie. Una serie es la secuencia de sumas parciales, {SN} .Potential confusionWhen hablando de serie, uno puede referirse tanto a la sucesión {SN} de las sumas parciales, oa la suma de la serie, suma ^ infty_n = 0 a_ni.e ., el límite de la sucesión de sumas parciales (véase la definición formal en la siguiente sección) - está claro cuál se entiende por el contexto. Para hacer una distinción entre estos dos objetos completamente diferentes (secuencia vs. valor sumado), uno a veces se omite los límites (una encima y por debajo del símbolo de la suma), como orden anin inΣ_n para referirse a la serie formales, que pueden o no pueden tener una serie definida sum.Convergent Series Σan se dice que 'converger' o 'ser convergentes' cuando la secuencia de sumas parciales SN tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie a divergir. Cuando el límite de sumas parciales existe, se llama la suma de la seriessum_n = 0 ^ infty a_n = lim_N-> infty S_n = lim_N-> infty sum_n = 0 ^ N a_nThe forma más fácil que una serie infinita puede converger es si todo el una son cero para n suficientemente grande. Dicha serie se puede identificar con una suma finita, por lo que es infinito en un sense.Working trivial a cabo las propiedades de la serie que convergen incluso si todas las condiciones son diferentes de cero es la esencia del estudio de las series. Considere la example1 + de 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... + 1/2 ^ n + .... Es posible "visualizar" su convergencia en la línea número real: podemos imaginar una línea de longitud 2, con segmentos sucesivos marcado fuera de longitudes 1,? ? etc. Siempre hay espacio para marcar el siguiente segmento, debido a que el importe de la línea restante es siempre el mismo que el último segmento marcado: cuando hemos delimitado? todavía tenemos un trozo de longitud? no marcado, por lo que sin duda podemos marcar la próxima? Este argumento no prueba que la suma es igual a 2 (aunque lo es), pero prueba que es a lo sumo 2. En otras palabras, la serie tiene un límite superior. Demostrando que la serie es igual a 2 sólo requiere álgebra elemental, sin embargo. Si la serie se denota S, se puede ver que eso es /2 = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) /2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1 /16+....Therefore,S - S /2 = 1 S = 2 matemáticos extienden el lenguaje se discutió anteriormente a otras nociones, el equivalente de la serie. Por ejemplo, cuando hablamos de un número decimal periódico, como inx = 0,111 ..... estamos hablando, de hecho, casi el seriessum_n = 1 ^ infty 1/10 ^ nPero ya que estas series convergen siempre a los números reales (porque de lo que se llama la propiedad integridad de los números reales), para hablar de la serie de esta manera es lo mismo que hablar de los números para los que se destacan. En particular, se debe ofender sensibilidades no si no hacemos distinción entre 0,111 ... y 1/9. Menos claro es el argumento de que 9? ... 0,111 = 0,999 ... = 1, pero no es insostenible si tenemos en cuenta que podemos formalizar la prueba sabiendo solamente que las leyes sobre limitación de preservar las operaciones aritméticas. Ver 0.999 ... para more.Properties de seriesProperties de seriesSeries se clasifican no sólo por el hecho de que convergen o divergen: también se pueden dividir en función de las propiedades de los términos de un (convergencia absoluta o condicional); tipo de convergencia de la serie (puntual, uniforme); la clase de un término (si se trata de un número real, la progresión aritmética, función trigonométrica); etc. un termsWhen no negativo es un número real no negativo para cada n, el SN sucesión de sumas parciales es no decreciente. De ello se desprende que una serie Σan con términos no negativos converge si y sólo si la secuencia SN de sumas parciales es ejemplo bounded.For, la seriessum_n mayor que o igual a 1 1 /n ^ 2 es convergente, debido a que el desigualdad1 /n ^ 2 de menos de o igual a 1 /n-1-1 /n, n mayor que o igual a 2, y un argumento suma telescópica implica que las sumas parciales están delimitadas por 2.Absolute convergenceA seriessum_n = 0 ^ infty a ^ nis dijo a converger absolutamente si la serie de absoluta valuessum_n = 0 ^ infty a_n | | converge. Se puede demostrar que esto es suficiente para que no sólo la serie original converge a un límite, sino también para cualquier reordenamiento de que converja con el mismo límite.